kangdarus.com – Logaritma: Rumus, Sifat, Fungsi, Persamaan dan Contoh Soal – Akhir-akhir ini matematika berkembang pesat. Ini bukan hanya tentang menghitung menggunakan skala statistik, nilai, bilangan asli, kalkulus, dan peluang. Namun, peningkatan matematika juga terjadi berdasarkan penalaran yang konsisten pada sistem matematika.
Penalaran yang dilakukan oleh para matematikawan didapat dari kenyataan-kenyataan asli yang dirasakan oleh manusia. Pergantian peristiwa dan penggunaan bagian matematika ini dirasakan oleh manusia dalam berbagai kehidupan. Penalaran ini dalam bahasa matematika sering disebut rasional.
Pengertian Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Sejarah Logaritma
Berdasarkan awal kata, kata Algoritma memiliki sejarah yang agak aneh. Individu hanya menemukan kata Algorism yang berarti proses memastikan dengan angka Arab.
Seseorang dikatakan sebagai “Algorit” jika ia menghitung menggunakan angka Arab. Ahli bahasa berusaha menemukan awal kata ini tetapi hasilnya kurang memuaskan. Akhirnya, para ahli sejarah matematika menemukan awal kata yang berasal dari nama penulis buku berbahasa Arab yang terkenal, yaitu Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khuwarrismi yang oleh orang barat disebut sebagai Algorism.
Penciptanya adalah seorang matematikawan dari Uzbeskitan bernama Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khawarizmi.
Dalam sastra barat, ia lebih dikenal dengan sebutan Algorism. Panggilan ini kemudian digunakan untuk menyinggung ide dari algoritma yang dia temukan.
Abu Abdullah Muhammad Ibn Musa Al-Khuwarizmi (770-840) dibawa ke dunia di Khwarizm (Kheva), sebuah kota di selatan sungai Oxus (sekarang Uzbekistan) pada 770 M. Orang tuanya kemudian pindah ke suatu tempat di selatan Baghdad (Irak), ketika dia masih muda.
Sebuah karya yang menggunakan angka India, yang pertama kali diterjemahkan dan digunakan di Barat berjudul al-jam’ wa’l-tafriq bi hisab al-rear (Penambahan dan Pengurangan dalam Aritmatika India).
Buku tersebut merupakan mahakarya matematikawan Muslim Muhammad ibn Musa Al-Khawarismi (780-850 M).
John Napier adalah seorang matematikawan Inggris, dibawa ke dunia di Merchiston Castle Eidenburg. Napier menyelesaikan sekolah di Prancis pada usia 13 tahun, kemudian ia melanjutkan ke Universitas St. Andrews di Skotlandia.
Pada tahun 1612 M, ia menemukan sebuah sistem yang ia beri nama “logaritma” yang diambil dari nama khwarizmi. Saat ini temuannya lebih dikenal dengan nama logaritma Napier (Napierian Logarithms).
Napier pernah membuat meja yang dipotong dari gading yang seolah-olah menjadi tulang. Kemudian, mereka menamakannya Napier’s Bones.
Ketika buku Napier tentang logaritma diterbitkan pada tahun 1614, itu mengejutkan para ilmuwan seperti halnya penciptaan mesin penjumlahan modern.
Dengan bantuan logaritma mereka dapat melakukan penggandaan dan pembagian yang sulit dengan cara yang cepat dan mudah secara menarik. Napier menghabiskan hidupnya bermain-main dengan matematika.
Dia meninggal pada tahun 1617 pada usia 67 tahun dan dilindungi di Edinburgh. (Yohanes, dkk: 33).
Karena melihat bilangan dasar yang digunakan dalam logaritma sekitar waktu itu tidak menyenangkan, Henry Briggs (ahli matematika Inggris) membuat tabel logaritma normal (The Table of Common Logarithms) dengan bilangan basis 10 segera kemudian.
Rumus Logaritma
ac = b → ª log b = c
Keterangan:
a = basis
b = bilangan dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat Logaritma
| ª log a = 1 |
| ª log 1 = 0 |
| ª log aⁿ = n |
| ª log bⁿ = n • ª log b |
| ª log b • c = ª log b + ª log c |
| ª log b/c = ª log b – ª log c |
| ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b |
| ª log b = 1 ÷ b log a |
| ª log b • b log c • c log d = ª log d |
| ª log b = c log b ÷ c log a |
Kegunaan Logaritma
Logaritma sering digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang kekuatannya tidak jelas. Bawahan mudah ditemukan dan oleh karena itu logaritma banyak digunakan sebagai solusi untuk hal yang esensial. Dalam situasi bn = x, b dapat ditemukan dengan menetapkan, n dengan logaritma, dan x dengan kapasitas dramatis.
1. Sains dan Teknik
Dalam sains, terdapat banyak besaran yang umumnya diekspresikan dengan logaritma. Sebabnya, dan contoh-contoh yang lebih lengkap, dapat dilihat di skala logaritmik.
- Negatif dari logaritma berbasis 10 digunakan dalam kimia untuk mengekspresikan konsentrasi ion hidronium (pH). Contohnya, konsentrasi ion hidronium pada air adalah 10−7 pada suhu 25 °C, sehingga pH-nya 7.
- Satuan lonceng (dengan lambang B) adalah satuan ukuran perbandingan (proporsi), seperti proporsi nilai gaya dan tegangan. Banyak digunakan dalam telekomunikasi, elektronik, dan akustik. Salah satu alasan menggunakan logaritma adalah telinga manusia mempersepsikan suara yang terdengar logaritmik. Bell Unit dinamai untuk mengenang Alexander Graham Bell, seorang inovator di bidang telekomunikasi. Desibel (dB), yang setara dengan 0,1 bel, lebih sering digunakan.
- Skala Richter mengukur intensitas gempa bumi dengan menggunakan skala logaritma berbasis 10.
- Dalam astronomi, magnitudo yang mengukur terangnya bintang menggunakan skala logaritmik, karena mata manusia mempersepsikan terang secara logaritmik.
2. Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma menggeser fokus perhitungan dari bilangan biasa ke pangkat (eksponen). Ketika logaritma dasar sama, beberapa jenis perhitungan dibuat lebih mudah menggunakan logaritma::
Sifat-sifat di atas membuat komputasi dengan eksponen lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum pendekatan kalkulator sebagai hasil dari kemajuan inovasi modern.
Untuk menambah dua angka, Anda hanya perlu melihat logaritma dari setiap angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan memeriksa antilog dari jumlah dalam tabel.
Untuk menghitung jenis atau basis suatu bilangan, logaritma dari bilangan tersebut harus terlihat dalam tabel, kemudian cukup digandakan atau dipisahkan oleh akar pangkat atau akarnya.
Kalkulus
Turunan fungsi logaritma adalah
dimana ln adalah logaritma natural, yaitu logaritma yang berbasis e. Jika b = e, maka rumus di atas dapat disederhanakan menjadi
Integral fungsi logaritma adalah
Integral logaritma berbasis e adalah
Sebagai contoh carilah turunan
Penghitungan Nilai Logaritma
Nilai logaritma dengan basis b dapat dihitung dengan rumus dibawah ini.
Sedangkan untuk logaritma berbasis e dan berbasis 2, terdapat prosedur-prosedur yang umum, yang hanya menggunakan penjumlahan, pengurangan, pengkalian, dan pembagian.
Persamaan Logaritma
Persamaan logaritma adalah persamaan yang peubahnya terdapat dalam bilangan pokok atau numerusnya.
Contoh : (i) log (3x – 1) = log (x – 15) , (ii) (x-1)log 16 = 2, dll Macam-macam bentuk persamaan logaritma :
- alog f(x) = alog p f(x)log a = g(x)log a
- alog f(x) = alog g(x) f(x)log g(x) = f(x)log h(x)
- alog f(x) = blog f(x) A.(a log x)2 + B(a log x) + C = 0
- f(x)log g(x) = p untuk A ¹ 0
Jenis persamaan logaritmik sebagian besar tidak sederhana. Untuk menyederhanakan kondisi logaritma, perlu untuk fokus pada sifat-sifat logaritma yang menyertainya:
Dalam menyelesaikan persamaan logaritma, bilangan dasar logaritma harus dibandingkan terlebih dahulu. Nilai solusi yang didapat perlu diuji dengan mensubstitusikannya ke kondisi pertama. Harga penyelesaian yang merupakan individu dari himpunan penyelesaian (HP) adalah yang mengakibatkan:
- numerus pada persamaan semula bernilai
- bilangan pokok logaritma pada persamaan semula bernilai positif dan tidak sama dengan 1 (satu).
Contoh soal
Tentukan himpunan penyelesaian dari 2log (2x+1) = 3 !
Fungsi Logaritma
Fungsi Logaritma adalah suatu fungsi invers (balikan) dari fungsi eksponen. Bila fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = ax, a > 0, a ≠ 1, maka invers dari f(x0 ditulis dengan f-1(x) = alog x atau f(x) = alog x, a > 0, a ≠ 1.
Secara umum bila y = ax, maka x = alog y.
- Bila f(x) = alog x, dengan a > 1, x > 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi
- Bila f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1, x > 0 , x e R, maka f(x) dikatakan fungsi naik.
Grafik fungsi logaritma selalu melalui titik (1,0) dan selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. Perhatikan gambar di bawah ini:
Pertidaksamaan Logaritma
Dari grafik fungsi logaritma di atas tampak bahwa :
Untuk a > 1
- Bila alog f(x) ³ alog g(x), maka f(x) ³ g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) >
- Bila alog f(x) £ alog g(x), maka f(x) £ g(x), dengan syarat f(x) dan g(x) >
Contoh soal :
Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 2log (2x-3) > 2log 5 !
Penyelesaian:
Kesimpulan : Nilai x yang menjadi penyelesaian pertidaksamaan harus memenuhi (1) dan (2) Jadi nilai x yang memenuhi adalah x > 4.
Contoh Soal dan Penyelesaiannya
1. Nilai dari 2log 4 + 2log 12 – 2log 6 =…
- 8
- 6
- 5
- 4
- 3
Pembahasan :
Untuk soal seperti di atas, maka kita perlu mengingat sifat logaritma
alog(b.c) = alog b + alog c, dan
alog = alog b – alog c
sehingga, untuk menyelesaikan soal di atas, kita gunakan kedua sifat logaritma tersebut. Dimana perhitungannya akan menjadi :
2log 4 + 2log 12 – 2log 6 = 2log
= 2log 8
Kemudian, untuk penyelesaian akhir, kita perlu mengingat sifat berikutnya, yaitu :
alog = n . alog b
→ 8 =
sehingga, penyelesaian akhirnya akan menjadi seperti berikut ini :
2log 8 = 2log
= 3 . 2log 2 → jangan lupa dengan yang ini : alog a = 1
= 3 . 1
= 3 ( E )
2. Nilai dari 2log 48 + 5log 50 – 2log 3 – 5log 2 =…
- -2
- -6
- 2
- 6
Pembahasan :
Sebelum mengerjakan, mari kita lihat perbedaan antara soal no. 1 dengan no. 2. Perbedaannya adalah :
- Pada soal no. 1, indeks logaritma merupakan indeks yang seragam ( indeks 2 )
- Sedangkan pada soal no. 2, indeks logaritma yang digunakan indeks tidak seragam ( indeks 2 dan indeks 5 )
Memang, tentunya dengan perbedaan seperti ini, maka kita tidak bisa serta merta menyelesaikannya seperti soal no. 1 di atas. Namun, pertanyaan no. 2 ini perlu diubah sedikit agar dapat diselesaikan dengan properti yang ada.
Mengotak-atik yang ingin kita lakukan adalah mengkonsolidasikan setiap logaritma dengan catatan yang sama atau sama (file 2 dengan file 2, daftar 5 dengan daftar 5), sehingga masalah akan berubah menjadi:
2log 48 – 2log 3 + 5log 50 – 5log 2 =…
Kemudian, soal tersebut bisa kita hitung dengan sifat :
alog = alog b – alog c
2log 48 – 2log 3 + 5log 50 – 5log 2 = 2log + 5log
= 2log 16 + 5log 25
Sekarang kita gunakan sifat berikutnya : alog = n . alog b
→ 16 =
→ 25 =
Dan juga gunakan sifat : alog a = 1
Sehingga, penyelesaiannya akan menjadi :
2log + 5log = 4 . 2log + 2 . 5log
= 4 + 2
= 6 ( E )
3. Jika log 3 = 0,4771 dan log 2 = 0,3010, maka nilai dari log 75 =…
- 0,7781
- 0,9209
- 1,0791
- 1,2552
- 1,8751
Pembahasan :
Untuk pertanyaan dengan model ini, ada kunci proses yang harus kita pahami. Itulah data yang menunjukkan nilai log 2 dan log 3. Dengan tambahan data ini berarti yang harus kita utamakan adalah bagaimana mengubah jenis log 75 menjadi struktur logaritma yang mengandung unsur bilangan 2. dan 3.
→ 75 = 3 . 25 = 3 .
Sehingga, bila kita ubah bilangan 75 tersebut dengan 3. , maka akan kita dapatkan :
log 75 = log ( 3 . ) → dengan ini, kita harus ingat sifat : alog(b.c) = alog b + alog c
= log 3 + log → jangan lupa bahwa : alog = n . alog b
= log 3 + 2 . log 5
Maksudnya adalah dengan mengubah bilangan 5 pada log 5 tersebut, karena di dalam soal yang diberi keterangan adalah log 2 dan log 3, sedangkan log 5 tidak diberi keterangan apapun.
Untuk itu, trik yang perlu dilakukan di sini adalah :
→ 5 =
Bilangan 5 tersebut perlu kita ubah ke dalam suatu bilangan yang mengandung unsur bilangan 2 dan nilainya tidak berubah ( tetap bernilai 5 ). Sehingga, jika kita selesaikan, akan menjadi :
log 75 = log 3 + 2 . log → tentu masih ingat sifat alog = alog b – alog c, kan?
= log 3 + 2 ( log 10 – log 2 ) → log 10 = 10log 10 = 1 → alog a = 1
= 0,4771 + 2 ( 1 – 0,3010 )
= 1,8751 ( E )
4. Diketahui 2log 3 = 1,6 dan 2log 5 = 2,3; nilai dari 2log ..
- 10,1
- 6,9
- 5,4
- 3,2
- 3,7
Pembahasan :
Sedikit mirip dengan masalah sebelumnya, menyadari bahwa ada data dalam masalah sehubungan dengan nilai logaritma suatu bilangan, maka yang ingin kita lakukan adalah mengubahnya menjadi struktur yang berisi elemen bilangan yang cocok dengan data tersebut.
→ 125 = 5 . 5 . 5 =
→ 9 =
Sehingga, jika kita selesaikan soal tersebut, akan menjadi :
2log = 2log → bisa ditebak kan? Di sini kita perlu sifat : alog = alog b – alog c
= 2log – 2log
Kemudian, sifat logaritma yang kita gunakan berikutnya adalah sifat :
alog = n . alog b
maka, persamaan di atas selanjutnya akan menjadi :
= 3 . 2log 5 – 2 . 2log 3
= 3 . ( 2,3 ) – 2. ( 1,6 )
= 6,9 – 3,2
= 3,7 ( E )
5. Nilai dari 2log 8 – 1/2log 0,25 + 3log + 2log 1 =…
- -2
- -1
- 0
- 1
- 2
Pembahasan :
Pada pertanyaan ini, masih mirip dengan pertanyaan sebelumnya. Yaitu, penyederhanaan logaritma dengan menggabungkan beberapa fungsi log yang memiliki file yang sama.
Jadi, untuk bergabung dengan fungsi-fungsi log itu kita perlu tahu mana yang memiliki file yang sama.
Yang memiliki file yang sama adalah 2log 8; 1/2 log 0,25; 2 log 1
Dari ketiga fungsi log di atas, ada satu yang berwarna merah, tepatnya 1/2log 0.25 karena kita ingin mengubah kapasitas ini sedikit sehingga menjadi file 2. Jadi, yang sebenarnya ingin kita lakukan adalah menggunakan salah satu logaritma. properti, untuk lebih spesifik properti:
Jadi, kita dapat mengubah jenis 1/2log 0,25 menjadi
Setelah kita mendapatkan struktur sebelumnya untuk diurutkan 2, maka sekarang kita bisa mulai menyelesaikan soal di atas dengan menggunakan properti dasar seperti soal sebelumnya, khususnya:
alog(b.c) = alog b + alog c, dan
alog = alog b – alog c
Sehingga, pengerjaannya akan menjadi :
2log 8 – 1/2log 0,25 + 3log + 2log 1 = 2log 8 – 2log 4 + 3log + 2log 1
= 2log + 3log
Ingat! Bahwa : =
2log 8 – 1/2log 0,25 + 3log + 2log 1 = 2log 2 + 3log → alog = n . alog b
= 1 + ( -3 )
= -2 ( A )
